Acquisire una buona conoscenza dei teoremi principali dell’Analisi Matematica su R e delle relative tecniche di dimostrazione.
scheda docente
materiale didattico
Definizione assiomatica di R.
Insiemi induttivi; definizione di N e principio di induzione.
Definizione di Z e Q; Z è un anello, Q è un campo.
Radici ennesime; potenze razionali.
Parte 2: Teoria dei limiti
La retta estesa R*: intervalli, intorni e punti di accumulazione.
Limiti di funzioni in R*.
Teoremi di confronto.
Limiti laterali; limiti di funzioni monotone.
Algebra dei limiti su R e R*.
Limite di composizione di funzioni.
Limiti di funzioni inverse.
Limiti notevoli. Il numero di Nepero.
Funzioni esponenziali e trigonometriche.
Parte 3: Funzioni continue
Topologia di R.
Teorema di esistenza degli zeri.
Teoremi di Bolzano-Weierstrass.
Teorema di Weierstrass.
Funzioni uniformemente continue.
Parte 4: Funzioni derivabili
Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari.
Minimi e massimi locali e teoremi elementari sulle derivate (Fermat, Rolle, Cauchy,
Lagrange).
Teorema di Bernoulli-Hopital.
Convessità.
Formule di Taylor.
Parte 5: Integrale di Riemann in R
L’integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali.
Criteri di integrabilità. Integrabilità di funzioni continue e monotone.
Il Teorema fondamentale del calcolo e sue applicazioni
(integrazione per parti, cambi di variabile nell’integrazione).
Integrali generalizzati (“impropri”) e relativi criteri di integrabilità.
McGraw-Hill Education Collana: Collana di istruzione scientifica
Data di Pubblicazione: giugno 2019
EAN: 9788838695438 ISBN: 8838695431
Pagine: XI-374 Formato: brossura
https://www.mheducation.it/9788838695438-italy-corso-di-analisi-prima-parte
Testi di esercizi:
Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010
Fruizione: 20410388 AM120-ANALISI MATEMATICA 2 in Matematica L-35 CHIERCHIA LUIGI, PROCESI MICHELA
Programma
Parte 1: Assiomatica di R e suoi sottoinsiemi principaliDefinizione assiomatica di R.
Insiemi induttivi; definizione di N e principio di induzione.
Definizione di Z e Q; Z è un anello, Q è un campo.
Radici ennesime; potenze razionali.
Parte 2: Teoria dei limiti
La retta estesa R*: intervalli, intorni e punti di accumulazione.
Limiti di funzioni in R*.
Teoremi di confronto.
Limiti laterali; limiti di funzioni monotone.
Algebra dei limiti su R e R*.
Limite di composizione di funzioni.
Limiti di funzioni inverse.
Limiti notevoli. Il numero di Nepero.
Funzioni esponenziali e trigonometriche.
Parte 3: Funzioni continue
Topologia di R.
Teorema di esistenza degli zeri.
Teoremi di Bolzano-Weierstrass.
Teorema di Weierstrass.
Funzioni uniformemente continue.
Parte 4: Funzioni derivabili
Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari.
Minimi e massimi locali e teoremi elementari sulle derivate (Fermat, Rolle, Cauchy,
Lagrange).
Teorema di Bernoulli-Hopital.
Convessità.
Formule di Taylor.
Parte 5: Integrale di Riemann in R
L’integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali.
Criteri di integrabilità. Integrabilità di funzioni continue e monotone.
Il Teorema fondamentale del calcolo e sue applicazioni
(integrazione per parti, cambi di variabile nell’integrazione).
Integrali generalizzati (“impropri”) e relativi criteri di integrabilità.
Testi Adottati
Luigi Chierchia: Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su RMcGraw-Hill Education Collana: Collana di istruzione scientifica
Data di Pubblicazione: giugno 2019
EAN: 9788838695438 ISBN: 8838695431
Pagine: XI-374 Formato: brossura
https://www.mheducation.it/9788838695438-italy-corso-di-analisi-prima-parte
Testi di esercizi:
Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010
Modalità Erogazione
Lezioni frontali ed esercitazioni. Tutto il materiale del programma verra spiegato a lezione. Le lezioni/esercitazioni includeranno un dialogo continuo con gli studenti: il feedback da parte degli studenti durante il corso è strumento fondamentale per la buona riuscita del corso stesso. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni (di Stato e dell'Università Roma Tre) che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche . In particolare, lezioni a distanza potrebbero essere necessarie.Modalità Frequenza
La frequenza è facoltativa e la comprensione del testo adottato è sufficiente per la piena fruizione del corso. Naturalmente la frequenza è auspicabile e FORTEMENTE consigliata essendo l'interazione tra docente e studenti strumento didattico fondamentale e irripetibile.Modalità Valutazione
La valutazione è basata su una prova scritta e su una prova orale. Sono previste due prove scritte in itinere che, in caso di esito positivo, sostituiscono la prova scritta finale. Esempi di prove degli anni passati saranno disponibili in rete sul sito web dedicato al corso che verrà costantemente aggiornato dal docente. La completa lista di dimostrazioni da portare all'orale si trova sul sito web http://www.mat.uniroma3.it/users/chierchia/AM120_21_22/AM120_21_22.htm#diariolezioni Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni (di Stato e dell'Università Roma Tre) che regolino le modalità della valutazione degli studenti. In particolare, valutazioni a distanza potrebbero essere necessarie ed in tal caso la valutazione sarà di tipo orale preceduta da una prova scritta preliminare parte integrante dell'esame orale.
scheda docente
materiale didattico
Differenziabilità, derivata e sue interpretazioni. Regole per il calcolo di derivate. Derivata e monotonia. I teoremi fondamentali sulla derivabilità (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange). Teoremi di Bernoulli-Hopital. Punti critici. Derivata seconda. Funzioni convesse. Studio qualitativo di funzioni. Derivate successive e fomula di Taylor (teorema di Peano). Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti.
L'integrale di Riemann: somme parziali, integrabilità. Classi di funzioni integrabili (funzioni monotone, funzioni continue e a tratti). Calcolo di primitive. Il teorema fondamentale del calcolo. Resto integrale nella formula di Taylor. Integrali impropri; confronto con serie.
Numeri complessi, serie esponenziale nel piano complesso e teorema fondamentale dell'algebra.
Fruizione: 20410388 AM120-ANALISI MATEMATICA 2 in Matematica L-35 CHIERCHIA LUIGI, PROCESI MICHELA
Programma
Insiemi aperti, chiusi, compatti. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue.Differenziabilità, derivata e sue interpretazioni. Regole per il calcolo di derivate. Derivata e monotonia. I teoremi fondamentali sulla derivabilità (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange). Teoremi di Bernoulli-Hopital. Punti critici. Derivata seconda. Funzioni convesse. Studio qualitativo di funzioni. Derivate successive e fomula di Taylor (teorema di Peano). Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti.
L'integrale di Riemann: somme parziali, integrabilità. Classi di funzioni integrabili (funzioni monotone, funzioni continue e a tratti). Calcolo di primitive. Il teorema fondamentale del calcolo. Resto integrale nella formula di Taylor. Integrali impropri; confronto con serie.
Numeri complessi, serie esponenziale nel piano complesso e teorema fondamentale dell'algebra.
Testi Adottati
Luigi Chierchia, Corso di Analisi, prima parte, Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R.Modalità Erogazione
Lezioni frontali ed esercitazioniModalità Frequenza
la frequenza e' facoltativa ma caldamente consigliataModalità Valutazione
Prova scritta ed Orale. La prova scritta consiste nello svolgimento di 5 esercizi di tipologia simile a quelli svolti nelle esercitazioni. La prova scritta può essere sostituita dalle due prove in itinere.