Consentire l'acquisizione del metodo logico deduttivo e fornire gli strumenti matematici di base del calcolo differenziale ed integrale. Ciascun argomento verrà rigorosamente introdotto e trattato, svolgendo, talvolta, dettagliate dimostrazioni, e facendo inoltre ampio riferimento al significato fisico, all'interpretazione geometrica e all'applicazione numerica. Una corretta metodologia e una discreta abilità nell'utilizzo dei concetti del calcolo integro-differenziale e dei relativi risultati dovranno mettere in grado gli studenti, in linea di principio, di affrontare in modo agevole i temi più applicativi che si svolgeranno nei corsi successivi.
scheda docente
materiale didattico
Calcolo di P. Marcellini e C. Sbordone.
1) I numeri e le funzioni reali
Numeri naturali, interi e razionali; densità dei razionali (5). Assiomi dei numeri reali (2). Cenni di teoria degli insiemi (4).
Il concetto intuitivo di funzione (6) e rappresentazione cartesiana (7).
Funzioni iniettive, suriettive, biettive e invertibili. Funzioni monotone (8).
Valore assoluto (9). Il principio di induzione (13).
2) Complementi ai numeri reali
Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore.
7) Limiti di successioni
Definizione e prime proprietà (56,57).
Successioni limitate (58). Operazioni con i limiti (59).
Forme indeterminate (60).
Teoremi di confronto (61). Altre proprietà dei limiti di successioni (62).
Limiti notevoli (63). Successioni monotone, il numero e (64).
Infiniti di ordine crescente (67).
8) Limiti di funzioni. Funzioni continue
Definizione di limite e proprietà (71,72,73).
Funzioni continue (74). discontinuità (75).
Teoremi sulle funzioni continue (76).
9) Complementi ai limiti
Il teorema sulle successioni monotone (80).
Successioni estratte; il teorema di Bolzano-Weierstrass (81).
Il teorema di Weierstrass (82).
Continuità delle funzioni monotone e delle funzioni inverse (83).
10) Derivate
Definizione e significato fisico (88-89). Operazioni con le derivate (90).
Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse (91).
Derivata delle funzioni elementari (92).
Significato geometrico della derivata: retta tangente (93).
11) Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (95).
Teoremi di Rolle e Lagrange (96).
Funzioni crescenti, decrescenti, convesse e concave (97-98).
Il teorema di de l'Hopital (99).
Studio del grafico di una funzione (100).
La formula di Taylor: prime proprietà (101).
14) Integrazione secondo Riemann
Definizione (117). Proprietà degli integrali definiti (118).
Uniforme continuità. Teorema di Cantor (119).
Integrabilità delle funzioni continue (120).
I teoremi della media (121).
15) Integrali indefiniti
Il teorema fondamentale del calcolo integrale (123).
Primitive (124). L'integrale indefinito (125). Integrazione per parti e per sostituzione
(126,127,128,129).
Integrali impropri (132).
16) Formula di Taylor
Resto di Peano (135).
Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti (136).
17) Serie
Serie numeriche (141).
Serie a termini positivi (142).
Serie geometrica e serie armonica (143,144).
Criteri di convergenza (145).
Serie alternate (146).
Convergenza assoluta (147).
Serie di Taylor (149).
Programma
I numeri si riferiscono ai capitoli e ai paragrafi del libro di testo:Calcolo di P. Marcellini e C. Sbordone.
1) I numeri e le funzioni reali
Numeri naturali, interi e razionali; densità dei razionali (5). Assiomi dei numeri reali (2). Cenni di teoria degli insiemi (4).
Il concetto intuitivo di funzione (6) e rappresentazione cartesiana (7).
Funzioni iniettive, suriettive, biettive e invertibili. Funzioni monotone (8).
Valore assoluto (9). Il principio di induzione (13).
2) Complementi ai numeri reali
Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore.
7) Limiti di successioni
Definizione e prime proprietà (56,57).
Successioni limitate (58). Operazioni con i limiti (59).
Forme indeterminate (60).
Teoremi di confronto (61). Altre proprietà dei limiti di successioni (62).
Limiti notevoli (63). Successioni monotone, il numero e (64).
Infiniti di ordine crescente (67).
8) Limiti di funzioni. Funzioni continue
Definizione di limite e proprietà (71,72,73).
Funzioni continue (74). discontinuità (75).
Teoremi sulle funzioni continue (76).
9) Complementi ai limiti
Il teorema sulle successioni monotone (80).
Successioni estratte; il teorema di Bolzano-Weierstrass (81).
Il teorema di Weierstrass (82).
Continuità delle funzioni monotone e delle funzioni inverse (83).
10) Derivate
Definizione e significato fisico (88-89). Operazioni con le derivate (90).
Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse (91).
Derivata delle funzioni elementari (92).
Significato geometrico della derivata: retta tangente (93).
11) Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (95).
Teoremi di Rolle e Lagrange (96).
Funzioni crescenti, decrescenti, convesse e concave (97-98).
Il teorema di de l'Hopital (99).
Studio del grafico di una funzione (100).
La formula di Taylor: prime proprietà (101).
14) Integrazione secondo Riemann
Definizione (117). Proprietà degli integrali definiti (118).
Uniforme continuità. Teorema di Cantor (119).
Integrabilità delle funzioni continue (120).
I teoremi della media (121).
15) Integrali indefiniti
Il teorema fondamentale del calcolo integrale (123).
Primitive (124). L'integrale indefinito (125). Integrazione per parti e per sostituzione
(126,127,128,129).
Integrali impropri (132).
16) Formula di Taylor
Resto di Peano (135).
Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti (136).
17) Serie
Serie numeriche (141).
Serie a termini positivi (142).
Serie geometrica e serie armonica (143,144).
Criteri di convergenza (145).
Serie alternate (146).
Convergenza assoluta (147).
Serie di Taylor (149).
Testi Adottati
P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Ed. Liguori, 1992Modalità Erogazione
8 ore di didattica frontale a settimana. Nel caso di un prolungamento dell’emergenza sanitaria da COVID-19 saranno recepite tutte le disposizioni che regolino le modalità di svolgimento delle attività didattiche. In particolare si applicheranno le seguenti modalità: svolgimento di lezione a distanza in diretta e registrazione della lezione stessa.Modalità Frequenza
facoltativaModalità Valutazione
prova scritta e successiva prova orale